Die Gruppe arbeitet zu den folgenden mathematischen Forschungsthemen des WIAS:


Analysis gewöhnlicher und partieller stochastischer Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen werden häufig verwendet, um Bewegungen von Partikeln zu modellieren. In ähnlicher Weise können partielle Differentialgleichungen zur Beschreibung der gesamten Trajektorien der Partikel eingesetzt werden. Es ist natürlich, zufälliges Rauschen in solche Modelle einzubauen: Teils kann man durch Einbeziehung von Zufälligkeit realistischere Modellierungen erhalten, teils ist sie inhärent fundamental für das Modell wie zum Beispiel bei der Beschreibung von Finanzmärkten. [>> more]

Analysis partieller Differentialgleichungen und Evolutionsgleichungen

Partielle Differentialgleichungen liefern adäquate Modelle für Phänomene in Naturwissenschaft und Technik. Am Weierstrass-Institut haben die Forschungen hierzu zwei hauptsächliche Schwerpunkte: a) Regularität von Lösungen linearer, elliptischer Gleichungen und b) Existenz, Einzigkeit und Regularität der Lösungen von Evolutionsgleichungen. [>> more]

Direkte und inverse Probleme für die Maxwellgleichungen

Die Arbeiten umfassen Modelle für die induktive Erwärmung von Stahloberflächen und für die Streuung von Lichtwellen an periodischen Oberflächenstrukturen. Dazu wird die quasistationäre Maxwell-Gleichung mit nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen gekoppelt bzw. es wird die zeitharmonische Maxwell-Gleichung kombiniert mit speziellen Ausstrahlungsbedingungen gelöst. Konvergenz numerischer Verfahren und verschiedene inverse Promblemstellungen werden analysiert. [>> more]

Freie Randwertprobleme für partielle Differentialgleichungen

Freie Randwertprobleme werden insbesondere untersucht im Zusammenhang mit der Energietechnologie und der Beschichtung von Oberflächen [>> more]

Hysterese-Operatoren und ratenunabhängige Systeme

Zeitabhängige Prozesse in Physik, Biologie und Wirtschaft zeigen häufig ein ratenunabhängiges Eingangs-Ausgangs-Verhalten. In diesen Prozessen treten häufig Hystereseeffekte auf, die von einem dem Prozess innewohnenden Gedächtnis hervorgerufen werden. Es gibt zwei Methoden derartige Systeme zu beschreiben: 1. Es können die beobachtbaren Variablen durch innere Variablen zur Beschreibung des momentanen Zustandes ergänzt werden, und dann wird die Evolution der inneren Variablen als Funktion der Eingabe beschrieben. 2.In vielen Fällen können Hysterese-Operatoren zur direkten Beschreibung des Eingangs-Ausgangs-Verhaltens gefunden werden, wobei dabei der Zustand zu einer Zeit von der gesamten Vorgeschichte abhängt. [>> more]

Mehrskalenmodellierung und Asymptotische Analysis

Die Arbeiten auf diesem Gebiet stehen im Zusammenhang mit Dünnfilmgleichungen; Platten, Balken, Schalen und Bögen; scharfen Limites von Diffusionsgleichungen mit mechanischer Kopplung in der Energietechnologie sowie scharfen Limites von verallgemeinerten Navier-Stokes-Korteweg-Systemen. [>> more]

Mehrskalenmodellierung und Hybridmodelle

Da moderne Bauteile in der Mechanik, Elektronik oder Optik immer kleiner werden, hängt ihre Effizienz von Effekte auf verschiedenen Längenskalen ab. Dabei ist ein Ziel, die Wirkprinzipien durch eine geeignete Wahl dünner aktive Grenzschichten oder periodischer Mikrostrukturen zu optimieren. Um den effektiven Einfluss zwischen den Skalen zu verstehen, werden mathematische Methoden wie Homogenisierung, asymptotische Analysis oder Gamma-Konvergenz verwendet. Die entstehenden Effektivmodelle sind gekoppelte Systeme partieller Differentialgleichungen, die sowohl Volumen- als auch Oberflächeneffekte enthalten. [>> more]

Modellierung, Analysis und Numerik von Phasenfeldmodellen

Die Phasenfeldtheorie hat sich in den vergangenen Jahren als ein mächtiges Werkzeug zur Modellierung von Mikroprozessen und Morphologien auf der Mesoskala entwickelt. Sie wird beispielsweise zur Beschreibung von Erstarrungsvorgängen in Metallschmelzen, Entmischungen in Legierungen, Rissausbreitung in Werkstoffen und martensitischen Umwandlungen bei Stählen eingesetzt. [>> more]

Nichtlineare kinetische Gleichungen

Kinetische Gleichungen beschreiben die Rate, mit der ein System oder eine Mischung seine chemischen Eigenschaften wechselt. Soche Gleichungen sind oft nichtlinear, da die Wechselwirkungen in dem Material komplex sind und die Geschwindigkeit des Wechselns abhängt von der Größe des Systems sowie von der Stärke der externen Einflüsse. [>> more]

Systeme partieller Differentialgleichungen: Modellierung, numerische Analysis und Simulation

Die mathematische Beschreibung einer großen Zahl von Fragestellungen aus Wissenschaft und Technik führt auf Systeme partieller Differentialgleichungen (PDEs). [>> more]


Archiv

Weitere mathematische Forschungsthemen, in denen das WIAS Kompetenz besitzt:

Magnetohydrodynamik

Bei der Züchtung von Halbleiterkristallen zur Herstellung von Halbleiterbauteilen werden oft elektromagnetische Felder zur Induktionsheizung eingesetzt. Die Modellierung der Kristallzüchtung führt in diesem Umfeld auf Systeme gekoppelter partieller Differentialgleichungen. [>> more]

Platten, Balken, Schalen und Bögen

Eine effiziente Beschreibung des mechanischen Verhaltens von speziellen 3D-Körpern, deren Abmessungen in einer oder zwei Richtungen klein gegenüber den übrigen Abmessungen sind, ist durch sogenannte Platten- oder Balkenmodelle möglich. [>> more]